Worm's Studium

이번에 정리할 내용은 극한의 엄밀한 정의를 살펴보고자 합니다. 우리는 고등학교 때, 극한의 정의를 대략적으로 배웠습니다.

그래서 고등학생 때에는 무리 없이 사용했습니다. 하지만 이는 명확한 정의가 아닙니다. 이유는 특정값에 접근할 때, L에 가까워진다. 에서 가까워짐이란 단어가 정확히 어느정도 가까워지는지에 대해 기준이 없기 때문입니다. 그래서 우리는 이러한 명확하지 못한 '가까워진다'라는 단어를 바꾸어서 표현하려 합니다.

1. 극한?

위에서 표현한 방식이 틀린 말은 아닙니다. 극한의 원래 사용은 특정 값에 가깝게 가면(x에서), 어떤 값(y의 값)으로 다가가는 것이 맞는 표현입니다. 극한을 사용한 이유도 

실제로 이 함수에 대해 그래프를 그려보면 다음의 그림과 같다.

함수가 초기 상태에서 정의역을 결정하기 때문에, 정의역 값에서 2가 빠져있는 것이다. 그에 따라 y의 값인 3이 빠져야 하는 것이다. 그런데 위의 그래프를 보면, x=2일 때, y=3임이 분명해보인다. 그래서 (2,f(2) = 3)의 값을 표시하고 싶은데, 함수의 정의에 따르면 이를 수학적 기호로 표시하기 어렵다. 

그래서 정확히 f(2)의 값은 없지만 그곳에 가깝게 가면 f(2) = 3이 되는 값을 표현하기 위해 극한을 정의하게 된 것이다. 

이제 극한을 사용하는 이유에 대해 간략하게 살펴보았으니, 예시를 통해 엄밀한 정의를 정의해보도록 하자.

우리의 예시는 

를 가지고 설명해보도록 합시다. 일단 이 극한의 답은 5라는 사실을 알고 있다.

2. 거리를 절댓값으로 정의하자.

  절댓값은 거리를 표시하기 위한 기호이다. 그러므로 우리도 절댓값으로 구해보도록 하자. 일단 x가 2에 접근할 때, 그에 따른 함숫값인 f(x)는 어떤 값에 가까워지는지를 수식으로 표시해보도록 하자. 

  그렇다면 가깝다는 표현대신에 실제적인 수치를 통해 살펴보도록 하자. 가깝다고 하니 인간이 느끼기에 가까워지는 값인 0.1 정도로 생각해보자. 

이러한 상태를 갖는다. 여기서 사용된 기호는

으로 사용된다. 여기서 위의 식을 만족하는 델타를 찾는 것이 목표인 것이다. 그런데 우리는 x=2일 때의 값을 원하는 것이 아니기 때문에 x=2가 되는 형태는 피해야 한다. 그래서 위의 식에서 x = 2일 때를 빼야 한다. 물론 x는 2가 아니란 말이 있지만, 말이 길어진다. 그래서 하나의 수식으로 표현하기 위해서 수식을 조금 변경해보자.

로 바꿔볼 수 있겠다. 이를 한 눈에 보기 쉽게 그래프로 생각해보도록 하자..

이런 느낌으로 사용할 수 있을 것이다. 그렇다면 이를 만족하는 델타를 구해보도록 하자.

이런 느낌으로 써볼 수 있을 것이다. 우리는 델타를 추정한 것이다. 이를 바탕으로 검증해보면, 

이 될 것이다. 이를 계속해서 같은 방식에 따라 늘려가도 비슷한 값이 계속해서 나올 것이다. 

이렇게 나올 것이며, 마찬가지로 

이러한 형태를 갖게 된다. 그러면 이렇게 수를 계속해서 줄여나가면 언젠가는 엄청나게 작은 값을 가지는 값에 따라 y의 값도 특정 값에 가깝게 갈 것이다. 이를 델타와 입실론을 활용해서 써보면 될 것이다. 

3. 그리고 입실론 델타 용법으로 표현

이러한 값을 갖게 되며, 위와 마찬가지로 결론을 내릴 수 있다.

절댓값의 성질에 따라 풀어준 뒤 그래프로 표현해보도록 하자.

이런 느낌의 그래프를 사용할 수 있을 것이다.

말로 표현하면, 

이를 통해 극한의 엄밀한 정의를 이야기하면,

여기서 A가 거꾸로 뒤집힌 문자는 For all (모든)을 의미하며, E가 좌우가 바뀐 문자는 Exist(존재하면, 혹은 어떤)이라는 의미한다. 

위의 말은 우리가 고등학교 때 배운 말로 바꾸자면, x가 특정 a에 가깝게 가면( 이를 다르게 표현하면 x와 a 사이의 거리를 충분히 가깝게 하면) f(x)와 L의 거리를 임의로 작게 만들 수 있음을 말한다.

  미적분 카테고리는 학생들이 자주 물어보는 내용을 정리해놓은 카테고리입니다. 궁금한 내용이 생기면 언제든 질문 해주세요! 질문은 공개글로 해주셔야 다른 학생들도 같이 봄으로써 우리가 공부하면서 생각하지 못했던 부분을 짚고 넘어갈 수 있습니다. 모르는 것은 부끄러운 일이 아닙니다. 모르는 것을 덮고 그냥 넘어가는 일이 오히려 부끄러운 일입니다. 세상 모든 사람이 지식을 탐구하는 일이 즐겁다는 사실을 알았으면 좋겠습니다.

  여기서는 미적분학에 대한 원리를 깨우치는데 조금 더 중점을 두려고 합니다. 풀이를 위한 해석보다는 식을 보고 그에 해당하는 식이 어떤 의미를 가지고 있는지 살펴볼 것입니다. 미적분학과 공학수학은 미적분학을 다루는데 있어서 비슷하지만, 미적분학은 그 의미를 파악하는데 중점적으로 다루는데 반해, 공학수학은 특정 공학적 지식을 다루기 위해 미적분학을 배우는데 의의를 두고 있습니다. 그렇기에 자신의 목적에 맞게 취사선택하시면서 배우시면 되겠습니다.

  책에 대해서...

  책에 대한 추천을 해달라는 분들이 많습니다. 그렇다면 미적분학의 경우는 몇 개의 양대 산맥이 존재합니다. 대표적으로 많이 쓰이는 미적분학 책은 James Stewart책과 Thomas(George B. Thomas)미적분학이 유명합니다. 다른 서적들도 충분히 좋은 책입니다. 한국에서 쓰여진 서적들의 경우, 위의 사람들의 책을 보고서 우리나라 실정에 맞게 바꾼 좋은 책들도 존재하니 실제 책을 구경할 일이 생기면 직접 읽어보고 사는게 가장 좋습니다. 

  대학교에서 교재를 사용하신다면 학교에서 추천하는 책을 구매하시는 편이 좋습니다. 판수에 대해서도 질문이 많은데, 판수는 1~2판수 정도 차이나도 크게 차이 나지 않습니다. 다만 완전하게 개편된 경우라면 새로 구매하시는 것도 좋습니다. 

미적분학 책은 꼭 구매하시는 편이 좋습니다. 가격대가 비싸지만 평생 사용할 수 있기에 끝까지 제대로 보고 가셨으면 합니다. 현대의 과학에서는 미적분학이 근간이 됩니다. 여기에 추가로 과학과 산업의 발전이 일어나기 위해서는 필요한 기초 교육이라 생각합니다.

* 현대 기술의 발전은 특정 수학의 단계가 누구나에게 자연스러운 상태가 되었을 때 발전됩니다. 예를 들어, 이전 세기에는 미적분학이교수들만 배우는 학문이었다면, 현대에는 미적분학은 고등학생이면 누구나 할 줄 아는 학문이 되었습니다. 그에 따라 우리 과학 기술은 또 한번의 진보를 이룬것이죠. 

  그 다음 세기의 기술의 발전은 대학교 2학년이나 3학년 수학과에서 배우는 학문이 대부분의 고등학생들이 알게 되는 학문이 된다면 크게 진보하게 될 것입니다. 산업 상의 성공 사례로는 페이스북이라 생각할 수 있겠습니다. 페이스북의 창업자는 해석학에 대해 많은 공부를 했으며, 그에 따라 삶에 대한 다양한 관점을 가질 수 있었던 것입니다. (조금 더 정확하게는 특정 데이터 사이의 유의미한 패턴을 인식하는 능력에 대한 훈련을 조금 더 가질 수 있었다고 볼 수 있겠습니다.) 물론 다른 이유도 더 많겠지만 우리가 수학에 대해 끊임없이 탐구해야 하는 이유라고 생각할 수 있겠습니다. 

   많은 학생들이 수학을 왜 배워야 하는지에 대해 의문을 많이 품습니다. 하지만 수학은 우리의 인식 속에 우리의 사고를 확장하는데 아주 많이 사용되었습니다. 우리가 특정  물음에 대해 입증하고 증명해나가는 과정 또한 수학 속에 들어간 논리학을 기반으로 사고하고 있습니다. 그것이 다른 여러 학문과의 상호작용에서 나온 것일 수도 있지만 대부분의 논리학과 추론 능력을 기르는데 가장 좋은 방법은 수학이라는 것은 당연한 사실입니다.